Kamis, 03 Oktober 2019

PERMUTASI

TUJUAN PEMBELAJARAN:
1. Peserta Didik dapat menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan permutasi
2. Peserta Didik dapat mengerjakan penyelesaian masalah kontekstual berkaitan dengan permutasi


Dalam matematika ada banyak sekali topik pembahasan kali ini mungkin agak sedikit bingung bagi kalian yaitu tentang permutasi. Apakah permutasi itu? Apa saja jenis-jenis permutasi?. Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula

Masih bingung? Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

Apakah Permutasi Itu?

Sebagai contoh disini admin mempunyai 3 buah huruf yaitu A, B, C
Nah dari ketiga huruf tersebut kemungkinan apa sajakah yang akan di bentuk serta ada berapa jumlah kemungkinan yang muncul?
Jika kalian menyusun kembali ketiga huruf diatas maka kemungkinan yang terjadi adalah
  1. A, B, C
  2. A, C, B
  3. B, A, C
  4. B, C, A
  5. C, A, B
  6. C, B, A
Dari ketiga huruf A, B, C maka akan ada 6 susunan huruf
Lalu bagaimanakah jika ada 4 huruf misal A, B, C, D berapa banyak kemungkinan yang muncul?
Contoh berikut menunjukkan susuan yang mungkin dari 4 huruf A, B, C, D
ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADC BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA
Dari ke empat huruf A, B, C, D akan menghasilkan 24 macam susunan
Nah bagaimana 3 huruf dari 4 huruf berapakah banyaknya kemungkinan serta bagaimana susunannya?
Masalah tersebut dapat diatas dengan menggunakan rumus permutasi

PERMUTASI

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang mungkin dari unsur-unsur berbeda dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya. Dalam permutasi urutan menjadi hal yang penting, karena bedaurutan maka menjadi susunan yang berbeda.

Banyaknya permutasi dari n objek yang disusun r objek dapat dinotasikan menjadi nPr sehingga dirumuskan menjadi:

nPr = n  (n-1)  (n-2) (n-3) ...  (n-r+1) atau

Contoh :
a.      6P2
b.      6P5
c.      6P6

Jawab :

Jenis-jenis permutasi

Sebelum melangkah ke rumus permutasi maka harus mengetahui terlebih dahulu apa saja jenis-jenis permutasi karna tiap jenis permutasi mempunyai rumus yang berbeda
Permutasi terdiri dari 3 jenis yaitu
  • Permutasi dari unsur-unsur yang  sama
  • Permutasi  Siklis
  • Permutasi yang memuat beberapa unsur yang berbeda

a.      Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

1.Dengan berapa cara kata SAS dapat disusun?

Susunan dari kata SAS adalah SAS, ASS, SSA, maka ada 3 cara.

Untuk permutasi dengan beberapa objek sama dapat dirumuskan menjadi
1)      Banyaknya permutasidari n objekdengan y objek sama ( y < n), sebagaiberikut :
nPy = n!/y!
2)      Banyaknya permutasi yang terdiri n objek yang dipilih dari n objek, dimana terdapat beberapa objek yang sama, seperti m1 objek sama, m2 objek yang sama, m3 objek yang sama, adalah
nPm1, m2, m3 = n!/m1! m2! m2!


Pada permutasi ini permutasi yang mempunyai susunan sama akan dihilangkan
Contoh :
2.Pada kata “BACA” terdapat dua huruf yang sama, yaitu A. Bagaimanakah permutasi huruf-huruf pada kata “BACA”?
Setelah disusun hasilnya adalah sebagai berikut
dimana terdapat 24 kemungkinan
BACA BAAC ABAC CBAA AABC
BAAC ACBA ABCA CAAB AACB
BCAA ACAB CABA CABA ACBA
BCAA AABC CAAB ABAC ACAB
BACA AACB CBAA ABCA
Nah jika mengamati 24 susunan huruf tersebut.
Tampak ada beberapa susunan huruf yang sama. Susunan yang sama tersebut adalah sebagai berikut
BACA ACBA AACB CABA
BAAC ACAB ABAC CAAB
BCAA AABC ABCA
Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BACA” adalah 12 atau 12 = 4 × 3 = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 4!/2!
atau 
B = 1huruf, A = 2 huruf, C = 1 huruf
4P1,2,1 = 4!/1!.2!.1! = 4.3.2.1/1.2.1.1= 4.3 = 12
3. Carilah berapa abanyak permutasi yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA?

Jawab :

Dari 10 huruf kata MATEMATIKA, terdapat 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T, maka permutasi yang dapat dibentuk adalah

10P2, 3, 3 = 10!/2!3!2!= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!/2! 3! 2! = 151.200
Contoh 
4. Untuk menghitung banyaknya cara menyusun urutan huruf-huruf dari kata “KATAKKU” adalah sebagai berikut.

Huruf K ada 3 maka n1 = 3
Huruf A ada 2 maka n2 = 2
Huruf T ada 1 maka n3 = 1
Huruf U ada 1 maka n4 = 1

Permutasi ada anggota yang sama
b.     Permutasi Siklis

contoh
1.Permutasi siklis merupakan permutasi yang susun melingkar. Seperti  P, Q, R disusun melingkar pada gambar dibawah ini :

Gambar 3 Permutasi siklis dengan 3 objek

Jika dilihat urutan tersebut searah dengan jarus jam maka didapat susunan PQR, RPQ, QPR adalah sama.

Maka banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah = 3!/3 = 3 x 2!/3 = 2! = 2
Dapat dilihat terdapat 2 susunan yang berbeda adalah PQR dan RPQ

Secara umum banyaknya susunan dari permutasi siklis adalah
Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n-1)!

Contoh :

2. Dalam rapat terdapat 6 orangyang duduk mengelilingi meja bundar. Dengan berpapa cara mereka dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?

Jawab :

Banyaknya susunan tempat duduk melingkar yang dapat dibentuk adalah
(n-1)! = (6-1)! = 5! = 120 cara.

Maka banyaknya cara dari ke-6 orang yang mengikuti rapat agar dapat duduk melingkar mengelilingi meja bunda dengan urutan yang berbeda ada 120 cara.

 Contoh soal
3.Empat orang anak, yaitu Andi, Boni, Cindi, dan Dodi akan duduk secara melingkar. Tentukan banyaknya urutan duduk yang mungkin!
Pembahasan:
Berdasarkan soal diketahui, n= 4 (Andi (A), Boni (B), Cindi (C), dan Dodi(D))
Untuk menentukan banyaknya urutan duduk yang mungkin, Quipperian bisa menggunakan persamaan permutasi siklis, yaitu sebagai berikut.


           c.   Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
           Permutasi dari n unsur yang berbeda diambil dari r unsur adalah susunan dari r unsur itu                       dalam  suatu urutan
           
                nPr         atau            atau    P(n, r)
               Dinyatakan dengan :


            Rumus :
1.      Permutasi r yang diambil dari n unsur yang berbeda ( r ≤ n)

                n P r


2.      Jika  r = n, maka
n P r   = n P n
n P n = 
 
               n P n = n !

Contoh:
1.Berapakah banyaknya permutasi 2 huruf yang diambil dari kata UANG
Jawab:
Merupakan permutasi 2 unsur dari 4 unsur:
4 P 2 = 4!/(4-2)!= 4!/2!=4.3.2.1/2.1=24/2=12
Contoh soal : 
2. Sebuah dalam tim olahraga ada 10 orang siswa yang dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?

Diketahui :
Permutasi P (10,5) atau bisa juga 10P5 ,  n =10 dan r =5 , Maka : 

Jawab : P(10,5) = n! / (n - r)!

=      10!        = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  
  (10 - 5) !                           5!                                                      
= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1                5 x 4 x 3 x 2 x 1=  ... ? ,tinggal dikalikan :D 
3.Suatu Komunitas Karang Taruna akan memilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 20 anggota. Tentukan banyaknya susunan yang bisa mereka pilih!
Pembahasan
Diketahui:
r = banyaknya pengurus = 3 (ketua, sekretaris, dan bendahara)
n = banyaknya anggota = 20
Ditanyakan: banyaknya susunan yang mungkin?
Jawab:
Berdasarkan soal di atas, Quipperian sudah bisa menentukan berapa r dan n nya?
Selanjutnya, gunakan persamaan permutasi berikut untuk mencari banyaknya susunan yang mungkin.

/.   
Tugas
Hitunglah soal dibawah ini!
1. Menjelang Pergantian kepengurusan OSIS SMK GANDA HUSADA akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
2. Sekelompok siswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima siswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
3.Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “STMIK”?
4.  Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?
5.Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata "KALKULUS" adalah.....


Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)